Rumors soon spread that the deal had already been signed in private.
Q. このthatの働きは?
全文訳
取引はすでに非公開で調印済みだという噂が、たちまち広まった。
解説
that節の中(the deal had already been signed)は欠けのない完全な文なので、Rumorsの中身を述べる同格の接続詞。同格節が述語spreadを飛び越えて文末に分離した形。関係代名詞なら節内に主語か目的語の欠けがあるはず、が判定基準。